Pierwotnym celem niniejszej notatki jest zaanonsowanie kolejnego tłumaczenia, tym razem jest to ksiażka :
"Układy całkowalne mechaniki klasycznej i algebry Liego" - A. M. Perelomow, Nauka 1990
Pierwsze dwa rozdziały dostępne pod linkiem ( całośc - przed wakacjami ) :
http://fizyka-teoretyczna.republika.pl/tlumaczenia/Ukladycalkowalne.zip
Tak, niejako przy okazji chce poruszyc zagadnienie o szczególnej wadze dla fizyki teoretycznej.
Można powiedziec i nie przesadzic, że układy hamiltonowskie ( mając na myśli oczywiście cały formalizm matematyczny związany z tym zagadnieniem ) stanowią kręgosłup fizyki teoretycznej.
Bogactwo mozliwości zastosowań, jak i uogólnień jest tutaj bardzo rozległe. I można powiedzie tak :
To co zrobił Newton ( jako twórca podstaw mechaniki ) było w swej istocie genialne, to co zrobił Lagrange
( jako twórca podstaw mechaniki analitycznej ) było zadziwiajace, a to co zrobił Hamilton - było ukoronowaniem struktury formalnej mechaniki klasycznej, jednakże to, co uczyniono dalej z formalizmem Hamiltona - jest perełką w takiej koronie.
Pośród wprowadzonych metod należy wymienic m.in. wprowadzenie struktury symplektycznej, teorii rozmaitości rozwłóknionych, metod algebry Liego, metod reprezentacji algebr Liego i całego szeregu metod analizy nieliniowej.
Formalizm Hamiltona staje się źródłem wielu uogólnień i nietrywialnych zależności.
Ogólne wprowadzenie do formalizmu hamiltonowskiego można znaleź tutaj :
( pierwotnie jest to tekst wstępny dla anonsowanego tłumaczenia )
http://fizyka-teoretyczna.republika.pl/fizyka/Ukladyhamiltonowskie.zip
W pracy tej podaje następujący diagram :
Formalizm Hamiltona :
1) sformułowanie w przestrzeni symplektycznej ->
całkowalnośc w aspekcie geometrycznym
2) algebra nawiasów Poissona (NP ) ( algebra Liego) ->
kwantowanie geometryczne
3) całkowalnośc w aspekcie algebraicznym
zagadnienie całkowalności - układy chaotyczne (dynamika nieliniowa )
W pewnym uproszczeniu pokazuje on możliwości zastosowań i wpływ formalizmu Hamiltona, na
współczesną fizykę. Weźmy taki schemat :
Mechanika hamiltonowska :
- algebra NP - > algebraiczne sformułowanie KTP ( czy też MQ )
-> (kwantowanie, predkwantowanie ) kwantowanie geometryczne
( po drodze zapewne pojawi się ogólne zagadnienie kwantowania, a byc moze teoria grup kwantowych )
Wyraźnie dostrzegamy tutaj splatanie się idei geometryczno -algebraicznych w nietrywialnych zastosowaniach.
Widac również wzajemny i "nieliniowy" wzajemny wpływ matematyki i fizyki.
Tak dla uzupełnienia podaje kilka, mam nadzieje, że pomocnych odnośników.
- co to jest kwantowanie :
http://fizyka-teoretyczna.republika.pl/fizyka/Kwantowanie.zip
- co to jest kwantowanie geometryczne :
http://fizyka-teoretyczna.republika.pl/tlumaczenia/Kwantowaniegeometryczne.zip
- co to jest algebraiczne sformułowanie KTP :
http://fizyka-teoretyczna.republika.pl/fizyka/Metodyalgebraiczne.zip
Podczas pisania tej notatki zastanawiałem się nad pewnymi kwestaiami szczególnymi :
1) preferencje w wykorzystywaniu hamiltonianów w MQ i lagranżjanów w teorii pola
2) zależności wzajemne pomiędzy formalizmem Hamiltona i Lagrange'a ( całkowanie układow z więzami,
układy osobliwe, nawias Diraca )
3) związek struktury symplektycznej z strukturą algebraiczną - wykorzystanie metod geometrii algebraicznej w procedurze kwantowania.
